BAB I

Himpunan

3.1 Dasar-Dasar Teori Himpunan

· Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.

· Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

3.1.1 Cara Penyajian Himpunan

1. Enumerasi

Contoh 3.1

- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.

- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}.

- C = {kucing, a, Amir, 10, paku}

- R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

- C = {a, {a}, {{a}} }

- K = { {} }

- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }

- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

Keanggotaan

x Î A : x merupakan anggota himpunan A;

x Ï A : x bukan merupakan anggota himpunan A.

Contoh 3.2

Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

K = {{}}

maka

3 A

5 A

{a, b, c} Î R

c Ï R

{} Î K

{} Ï R

Contoh 3.3 Bila P₁ = {a, b}, P₂ = { {a, b} }, P₃ = {{{a, b}}}, maka

a Î P₁

a Ï P₂

P₁ Î P₂

P₁ Ï P₃

P₂ Î P₃

2. Simbol-simbol Baku

P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }

N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }

Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }

Q = himpunan bilangan rasional

R = himpunan bilangan riil

C = himpunan bilangan kompleks

· Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U.

Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.

3. Notasi Pembentuk Himpunan

Notasi: { x ú syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Contoh 3.4

(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5

A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}

atau

A = { x | x P, x < 5 }

yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}

(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah matematika diskrit}

4. Diagram Venn

Contoh 3.5

Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.

Diagram Venn:

Gambar 3.1

3.1.2 Kardinalitas

· Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.

· Notasi: n(A) atau êA ê

Contoh 3.6

(i) B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20 },

atau B = {1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka ½B½ = 8

(ii) T = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka ½T½ = 5

(iii) A = {a, {a}, {{a}} }, maka ½A½ = 3

3.1.3 Himpunan Kosong

· Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).

· Notasi : Æ atau {}

Contoh 3.7

(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0

(ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0

(iii) A = {x | x adalah akar persamaan kuadrat x² + 1 = 0 }, n(A) = 0

· himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {Æ}

· himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {Æ, {Æ}}

· {Æ} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.

3.1.4 Himpunan Bagian (Subset)

· Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B.

· Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

· Notasi: A Í B

· Diagram Venn :

Gambar 3.2

Contoh 3.8

(i) { 1, 2, 3} Í {1, 2, 3, 4, 5}

(ii) {1, 2, 3} Í {1, 2, 3}

(iii) N Z R C

(iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x ³ 0, y ³ 0 } dan

B = { (x, y) | 2x + y < 4, x ³ 0 dan y ³ 0 }, maka B A.

TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut:

(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A).

(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A).

· A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.

Contoh : A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan Æ adalah improper subset dari A.

· A Í B berbeda dengan A Ì B

(i) A Ì B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ¹ B.

A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.

Contoh : {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}

(ii) A Í B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.

3.1.5 Himpunan yang Sama

· A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A.

· A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A ¹ B.

· Notasi : A = B « A Í B dan B Í A

Contoh 3.9

(i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x | x (x – 1) = 0 }, maka A = B

(ii) Jika A = { 3, 5, 8 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B

(iii) Jika A = { 3, 5, 8 } dan B = {3, 8}, maka A ¹ B

Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut:

(a) A = A, B = B, dan C = C

(b) jika A = B, maka B = A

3.1.6 Himpunan yang Ekivalen

· Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.

· Notasi : A ~ B « ½A½ = ½B½

Contoh 3.10

Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab ½A½ = ½B½ = 4

3.1.7 Himpunan Saling Lepas

· Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

· Notasi : A // B

· Diagram Venn:

Gambar 3.3

Contoh 3.11

Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.

3.1.8 Himpunan Kuasa

· Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.

· Notasi : P(A) atau 2^A

· Jika ½A½ = m, maka ½P(A)½ = 2m.

Contoh 3.12

Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}

Contoh 3.13

Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P(Æ) = {Æ}, dan himpunan kuasa dari himpunan {Æ} adalah P({Æ}) = {Æ, {Æ}}.

3.2 Operasi Terhadap Himpunan

a. Irisan (intersection)

· Notasi : A Ç B = { x | x Î A dan x Î B }

Gambar 3.4

Contoh 3.14

(i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18},

maka A Ç B = {4, 10}

(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = .

Artinya: A // B

b. Gabungan (union)

· Notasi : A È B = { x | x Î A atau x Î B }

Gambar 3.5

Contoh 3.15

(i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 }

(ii) A = A

c. Komplemen (complement)

· Notasi :

= { x | x Î U, x Ï A }

Gambar 3.6

Contoh 3.16

Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },

(i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka

= {2, 4, 6, 8}

(ii) jika A = { x | x/2 P, x < 9 }, maka

= { 1, 3, 5, 7, 9 }

Contoh 3.17 Misalkan:

A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri

B = himpunan semua mobil impor

C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990

D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta

E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu

(i) “mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri” à (E Ç A) È (E Ç B) atau E Ç (A È B)

(ii) “semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” à A Ç C Ç D

(iii) “semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta” à

d. Selisih (difference)

· Notasi : A – B = { x | x Î A dan x Ï B } = A Ç

Gambar 3.7

Contoh 3.18

(i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A =

(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}

e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)

· Notasi: A Å B = (A È B) – (A Ç B) = (A – B) È (B – A)

Contoh 3.19

Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }

Contoh 3.20 Misalkan

U = himpunan mahasiswa

P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80

Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80

Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.

(i) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P Ç Q

(ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Å Q

(iii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P È Q)

TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:

(a) A Å B = B Å A (hukum komutatif)

(b) (A Å B ) Å C = A Å (B Å C ) (hukum asosiatif)

f. Perkalian Kartesian (cartesian product)

· Notasi: A ´ B = {(a, b) ½ a Î A dan b Î B }

Contoh 3.21

(i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka
C ´ D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka
A ´ B = himpunan semua titik di bidang datar

Catatan :

1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: ½A ´ B½ = ½A½ . ½B½.

2. Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) ¹ (b, a).

3. Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A ´ B ¹ B ´ A dengan syarat A atau B tidak kosong.

Pada Contoh 20(i) di atas, D ´ C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } ¹ C ´ D.

4. Jika A = Æ atau B = Æ, maka A ´ B = B ´ A = Æ

Contoh 3.22 Misalkan

A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus }

B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es dawet }

Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas ?

Penyelesaian :

½A ´ B½ = ½A½×½B½ = 4 × 3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m, c), (m, t), (m, d)}.

Contoh 3.23 Daftarkan semua anggota himpunan berikut:

(a) P(Æ) (b) Æ ´ P(Æ) (c) {Æ}´ P(Æ)

Penyelesaian :

(a) P(Æ) = {Æ}

(b) Æ ´ P(Æ) = Æ (ket: jika A = Æ atau B = Æ maka A ´ B = Æ)

3.3 Hukum-hukum Himpunan

1. Hukum identitas: A = A A U = A	2. Hukum null/dominasi: A = A U = U
3. Hukum komplemen: A = U A =	4. Hukum idempoten: A A = A A A = A
5. Hukum involusi: = A	6. Hukum penyerapan (absorpsi): A (A B) = A A (A B) = A
7. Hukum komutatif: A B = B A A B = B A	8. Hukum asosiatif: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C
9. Hukum distributif: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)	10. Hukum De Morgan: = =
11. Hukum 0/1 = U = Æ

3.4 Prinsip Dualitas

· Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.

Contoh: AS à kemudi mobil di kiri depan

Inggris (juga Indonesia) à kemudi mobil di kanan depan

Peraturan:

(a) di Amerika Serikat,

- mobil harus berjalan di bagian kanan jalan,

- pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului,

- bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung

(b) di Inggris,

- mobil harus berjalan di bagian kiri jalan,

- pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului,

- bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung

Prinsip dualitas:

Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris.

· (Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti , , dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti ® , ® , ® U, U ® , sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.

1. Hukum identitas: A = A	Dualnya: A U = A
2. Hukum null/dominasi: A =	Dualnya: A U = U
3. Hukum komplemen: A = U	Dualnya: A =
4. Hukum idempoten: A A = A	Dualnya: A A = A
5. Hukum penyerapan: A (A B) = A	Dualnya: A (A B) = A
6. Hukum komutatif: A B = B A	Dualnya: A B = B A
7. Hukum asosiatif: A (B C) = (A B) C	Dualnya: A (B C) = (A B) C
8. Hukum distributif: A (B C)=(A B) (A C)	Dualnya: A (B C) = (A B) (A C)
9. Hukum De Morgan: =	Dualnya: =
10. Hukum 0/1 = U	Dualnya: = Æ

Contoh 3.24 Dual dari (A B) (A

) = A adalah

(A B) (A

) = A.

3.5 Partisi

Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A₁, A₂, … dari A sedemikian sehingga:

(a) A₁ È A₂ È … = A, dan

(b) A_i Ç A_j = Æ untuk i ¹ j

Contoh 3.25 Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A.

3.6 Himpunan Ganda

Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset).

Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.

Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4.
Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.
Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multiset semua berbeda.

3.7 Operasi Antara Dua Buah Multiset

Misalkan P dan Q adalah multiset:

1. P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.

Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c },

P Q = { a, a, a, b, c, c, d, d }

2. P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.

Contoh: P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c }

P Q = { a, a, c }

3. P – Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan:

multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q, jika selisihnya positif

0, jika selisihnya nol atau negatif.

Contoh: P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan Q = { a, a, b, b, b, c,

c, d, d, f } maka P – Q = { a, e }

4. P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum) dua buah himpunan ganda, adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas elemen tersebut pada P dan Q.

Contoh: P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b, d },

P + Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d }

3.8 Pembuktian Pernyataan Perihal Himpunan

· Pernyataan himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan.

· Pernyataan dapat berupa:

1. Kesamaan (identity)

Contoh: Buktikan “A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)”

2. Implikasi

Contoh: Buktikan bahwa “Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka selalu berlaku bahwa A Í C”.

1. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn

Contoh 3.26 Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C) dengan diagram Venn.

Bukti:

A Ç (B È C) (A Ç B) È (A Ç C)

Gambar 3.8

Kedua diagram Venn memberikan area arsiran yang sama.

Terbukti bahwa A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).

· Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya.

· Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta. Diagram Venn tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal.

2. Pembuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan

Contoh 3.27 Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).

Bukti:

Tabel 3.1

A	B	C	B È C	A Ç (B È C)	A Ç B	A Ç C	(A Ç B) È (A Ç C)
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	1	0	0	0	0
0	1	0	1	0	0	0	0
0	1	1	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	1	1	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1

Karena kolom A Ç (B È C) dan kolom (A Ç B) È (A Ç C) sama, maka A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).

3. Pembuktian dengan menggunakan aljabar himpunan.

Contoh 3.28 Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa (A Ç B) È (A Ç

) = A

Bukti:

(A Ç B) È (A Ç

) = A Ç (B È

) (Hukum distributif)

= A Ç U (Hukum komplemen)

= A (Hukum identitas)

Contoh 3.29 Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa A È (B – A) = A È B

Bukti:

A È (B – A) = A È (B Ç

) (Definisi operasi selisih)

= (A È B) Ç (A È

) (Hukum distributif)

= (A È B) Ç U (Hukum komplemen)

= A È B (Hukum identitas)

Contoh 3.30 Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa

(i) A È (

Ç B) = A È B dan

(ii) A Ç (

È B) = A Ç B

Bukti:

(i) A È (

Ç B) = ( A È

) Ç (A Ç B) (H. distributif)

= U Ç (A Ç B) (H. komplemen)

= A È B (H. identitas)

(ii) adalah dual dari (i)

A Ç (

È B) = (A Ç

) È (A Ç B) (H. distributif)

= Æ È (A Ç B) (H. komplemen)

= A Ç B (H. identitas)

4. Pembuktian dengan menggunakan definisi

· Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi pernyataan yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian (Í atau Ì).

Contoh 3.31 Misalkan A dan B himpunan. Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka A Í C. Buktikan!

Bukti:

(i) Dari definisi himpunan bagian, P Í Q jika dan hanya jika setiap x Î P juga Î Q. Misalkan x Î A. Karena A Í (B È C), maka dari definisi himpunan bagian, x juga Î (B È C).

Dari definisi operasi gabungan (È), x Î (B È C) berarti x Î B atau x Î C.

(ii) Karena x Î A dan A Ç B = Æ, maka x Ï B

Dari (i) dan (ii), x Î C harus benar. Karena "x Î A juga berlaku x Î C, maka dapat disimpulkan A Í C .

dunia ku :)

Halaman

Senin, 28 Mei 2012

aku kamu dia-ku dan dia-mu

Jumat, 20 April 2012

OSI

Himpunan

3.1.1 Cara Penyajian Himpunan

3.1.2 Kardinalitas

3.1.3 Himpunan Kosong

3.1.4 Himpunan Bagian (Subset)

3.1.5 Himpunan yang Sama

3.1.6 Himpunan yang Ekivalen

3.1.7 Himpunan Saling Lepas

3.1.8 Himpunan Kuasa

3.2 Operasi Terhadap Himpunan

a. Irisan (intersection)

b. Gabungan (union)

c. Komplemen (complement)

d. Selisih (difference)

e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)

TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:

f. Perkalian Kartesian (cartesian product)

Contoh 3.22 Misalkan

A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus }

3.3 Hukum-hukum Himpunan

3.6 Himpunan Ganda

3.7 Operasi Antara Dua Buah Multiset

Cari Blog Ini

Mengenai Saya