BAB I
Himpunan
3.1
Dasar-Dasar Teori Himpunan
·
Himpunan (set)
adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
·
Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
3.1.1 Cara Penyajian Himpunan
1. Enumerasi
Contoh 3.1
- Himpunan empat
bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3,
4}.
- Himpunan lima
bilangan genap positif pertama: B =
{4, 6, 8, 10}.
- C =
{kucing, a, Amir, 10, paku}
- R = { a,
b, {a, b, c}, {a, c}
}
- C = {a,
{a}, {{a}} }
- K = { {} }
- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1,
2, ..., 100 }
- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…,
-2, -1, 0, 1, 2, …}.
Keanggotaan
x Î A : x merupakan anggota himpunan A;
x Ï A : x bukan merupakan anggota himpunan A.
Contoh
3.2
Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a,
b, {a, b, c}, {a, c}
}
K = {{}}
maka
3 A
5 A
{a, b,
c} Î R
c Ï R
{}
Î K
{} Ï R
Contoh 3.3 Bila P1 = {a, b}, P2
= { {a, b} }, P3 = {{{a, b}}},
maka
a Î P1
a Ï P2
P1 Î P2
P1
Ï P3
P2 Î P3
2. Simbol-simbol
Baku
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1,
2, 3, ... }
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1,
2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = {
..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
·
Himpunan yang universal: semesta,
disimbolkan dengan U.
Contoh: Misalkan U = {1,
2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan
bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.
3. Notasi Pembentuk Himpunan
Notasi: { x ú syarat yang harus dipenuhi
oleh x }
Contoh 3.4
(i) A adalah
himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5
A = { x | x adalah bilangan bulat
positif lebih kecil dari 5}
atau
A =
{ x | x P, x < 5 }
yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3,
4}
(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah
matematika diskrit}
4. Diagram Venn
Contoh 3.5
Misalkan U = {1, 2, …, 7,
8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B =
{2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:
Gambar 3.1
3.1.2 Kardinalitas
·
Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.
·
Notasi: n(A) atau êA ê
Contoh
3.6
(i) B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih
kecil dari 20 },
atau B = {1, 3, 5,
7, 11, 13, 17, 19} maka ½B½ = 8
(ii) T = {kucing, a, Amir, 10,
paku}, maka ½T½ = 5
(iii) A = {a, {a}, {{a}} }, maka ½A½ = 3
3.1.3 Himpunan Kosong
·
Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).
·
Notasi : Æ atau {}
Contoh 3.7
(i) E
= { x | x < x }, maka n(E)
= 0
(ii) P =
{ orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0
(iii) A = {x | x
adalah akar persamaan kuadrat x2
+ 1 = 0 }, n(A) = 0
·
himpunan {{ }} dapat juga ditulis
sebagai {Æ}
·
himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga
ditulis sebagai {Æ, {Æ}}
·
{Æ} bukan
himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.
3.1.4 Himpunan Bagian (Subset)
·
Himpunan A
dikatakan himpunan bagian dari himpunan B
jika dan hanya jika setiap elemen A
merupakan elemen dari B.
·
Dalam hal ini, B
dikatakan superset dari A.
·
Notasi: A Í B
·
Diagram Venn :
Gambar 3.2
Contoh
3.8
(i) { 1, 2, 3} Í {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {1, 2, 3} Í {1, 2, 3}
(iii) N Z R C
(iv) Jika A = { (x, y) | x + y
< 4, x ³ 0, y
³ 0 } dan
B
= { (x, y) | 2x + y < 4, x ³ 0 dan y ³ 0 }, maka B
A.
TEOREMA
1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai
berikut:
(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A).
(b) Himpunan kosong merupakan
himpunan bagian dari A ( A).
(c) Jika A Í B dan B Í C, maka A Í C
·
A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A.
Contoh
: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan Æ adalah improper subset dari A.
·
A Í B berbeda dengan A Ì B
(i)
A Ì B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ¹ B.
A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.
Contoh : {1} dan
{2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}
(ii) A
Í B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B
yang memungkinkan A = B.
3.1.5 Himpunan yang Sama
·
A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B
merupakan elemen A.
·
A = B jika A adalah himpunan bagian dari B
dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A
¹ B.
·
Notasi : A = B
« A Í B dan B Í A
Contoh 3.9
(i) Jika A
= { 0, 1 } dan B = { x | x
(x – 1) = 0 }, maka A = B
(ii) Jika A
= { 3, 5, 8 } dan B = {5, 3, 8 },
maka A = B
(iii) Jika A = { 3, 5, 8 } dan B = {3, 8}, maka A ¹ B
Untuk tiga buah
himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma
berikut:
(a) A = A, B = B, dan C = C
(b) jika A = B,
maka B = A
(c) jika A = B
dan B = C, maka A = C
3.1.6 Himpunan yang Ekivalen
·
Himpunan A
dikatakan ekivalen dengan himpunan B
jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.
·
Notasi : A ~ B
« ½A½ = ½B½
Contoh 3.10
Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d
}, maka A ~ B sebab ½A½ = ½B½ = 4
3.1.7 Himpunan Saling Lepas
·
Dua himpunan A dan B dikatakan saling
lepas (disjoint) jika keduanya tidak
memiliki elemen yang sama.
·
Notasi : A // B
·
Diagram Venn:
Gambar 3.3
Contoh 3.11
Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.
3.1.8 Himpunan Kuasa
·
Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang
elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan
kosong dan himpunan A sendiri.
·
Notasi : P(A) atau 2A
·
Jika ½A½ = m, maka ½P(A)½ = 2m.
Contoh
3.12
Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
Contoh 3.13
Himpunan kuasa
dari himpunan kosong adalah P(Æ) = {Æ}, dan himpunan kuasa dari
himpunan {Æ} adalah P({Æ}) = {Æ, {Æ}}.
3.2 Operasi Terhadap Himpunan
a. Irisan (intersection)
·
Notasi : A Ç B = { x | x Î A dan x Î B }
 |
Gambar 3.4
Contoh 3.14
(i)
Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18},
maka A
Ç B = {4, 10}
(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B = .
Artinya:
A // B
b. Gabungan (union)
·
Notasi : A È B = { x | x Î A atau x Î B }
 |
Gambar 3.5
Contoh 3.15
(i) Jika A
= { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 },
maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 }
(ii) A = A
c. Komplemen (complement)
·
Notasi : 
= { x | x Î U, x Ï A }
= { x | x Î U, x Ï A } |
Gambar 3.6
Contoh
3.16
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
(i)
jika A = {1, 3, 7,
9}, maka = {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 6, 8}
(ii)
jika A = { x | x/2
P, x < 9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 }
= { 1, 3, 5, 7, 9 }
Contoh 3.17 Misalkan:
A = himpunan semua mobil buatan dalam
negeri
B = himpunan semua mobil impor
C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990
D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari
Rp 100 juta
E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas
tertentu
(i)
“mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri
atau diimpor dari luar negeri” à (E Ç A) È (E Ç B) atau E Ç (A È B)
(ii)
“semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun
1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” à A Ç C Ç D
(iii) “semua mobil impor buatan
setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta” à
d. Selisih (difference)
·
Notasi : A – B = { x | x Î A dan x Ï B }
= A Ç 
 |
Gambar 3.7
Contoh 3.18
(i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B
= { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A
=
(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5},
tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}
e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)
·
Notasi: A Å B = (A È B) – (A Ç B) = (A – B) È (B – A)
Contoh 3.19
Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = {
2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }
Contoh 3.20 Misalkan
U = himpunan mahasiswa
P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80
Q = himpunan
mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80
Seorang
mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80,
mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika
kedua ujian di bawah 80.
(i)
“Semua mahasiswa yang
mendapat nilai A” : P Ç Q
(ii)
“Semua mahasiswa yang
mendapat nilai B” : P Å Q
(iii)
“Semua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P È Q)
TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
(a) A Å B = B Å A (hukum komutatif)
(b) (A Å B ) Å C = A Å (B Å C )
(hukum asosiatif)
f. Perkalian Kartesian (cartesian product)
·
Notasi: A ´ B = {(a, b) ½ a Î A dan b Î B }
Contoh 3.21
(i) Misalkan C
= { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka
C ´ D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
C ´ D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
(ii) Misalkan A
= B = himpunan semua bilangan riil,
maka
A ´ B = himpunan semua titik di bidang datar
A ´ B = himpunan semua titik di bidang datar
Catatan :
1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: ½A ´ B½ = ½A½ . ½B½.
2. Pasangan
berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b)
¹ (b, a).
3. Perkalian
kartesian tidak komutatif, yaitu A ´ B ¹ B ´ A dengan syarat A atau B tidak kosong.
Pada Contoh 20(i) di atas, D ´ C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } ¹ C ´ D.
4. Jika A
= Æ atau B = Æ,
maka A ´ B = B ´ A
= Æ
Contoh 3.22 Misalkan
A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus }
B = himpunan minuman = { c
= coca-cola, t = teh, d = es dawet }
Berapa banyak
kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas ?
Penyelesaian :
½A ´ B½ = ½A½×½B½ = 4 × 3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t),
(s, d), (g, c), (g,
t), (g, d), (n, c),
(n, t), (n, d), (m,
c), (m, t), (m, d)}.
Contoh
3.23 Daftarkan semua anggota himpunan berikut:
(a) P(Æ) (b) Æ ´ P(Æ) (c) {Æ}´ P(Æ)
Penyelesaian :
(a)
P(Æ) = {Æ}
(b)
Æ ´ P(Æ) = Æ (ket: jika A = Æ atau B = Æ maka A ´ B = Æ)
(c)
{Æ}´ P(Æ) = {Æ}´ {Æ} = {(Æ,Æ))
3.3 Hukum-hukum Himpunan
1. Hukum
identitas:
A = A
A U = A
|
2. Hukum null/dominasi:
A =
A U = U
|
3. Hukum komplemen:
A
 = U
A
= |
4. Hukum idempoten:
A A = A
A A = A
|
5. Hukum involusi:
 = A |
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
A (A B) = A
A (A B) = A
|
7. Hukum komutatif:
A B = B A
A B = B A
|
8. Hukum asosiatif:
A (B C) = (A B) C
A (B C) = (A B) C
|
9. Hukum
distributif:
A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
|
10. Hukum De Morgan:
 =   =  |
11. Hukum 0/1
 = U = Æ |
 |
3.4
Prinsip Dualitas
·
Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan
namun tetap memberikan jawaban yang benar.
Contoh: AS à kemudi mobil di kiri depan
Inggris
(juga Indonesia) à kemudi mobil di kanan depan
Peraturan:
(a)
di Amerika Serikat,
- mobil harus berjalan di bagian kanan
jalan,
-
pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk
mendahului,
-
bila lampu merah menyala, mobil belok kanan
boleh langsung
(b) di Inggris,
-
mobil harus berjalan di bagian kiri
jalan,
-
pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan
untuk mendahului,
-
bila lampu merah menyala, mobil belok kiri
boleh langsung
Prinsip dualitas:
Konsep kiri dan
kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang
berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris.
·
(Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti ,
, dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti ® , ® , ® U, U ® ,
sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S* juga benar dan disebut
dual dari kesamaan S.
1. Hukum
identitas:
A = A
|
Dualnya:
A U = A
|
2. Hukum null/dominasi:
A =
|
Dualnya:
A U = U
|
3. Hukum komplemen:
A
= U |
Dualnya:
A
= |
4. Hukum idempoten:
A A = A
|
Dualnya:
A A = A
|
5. Hukum
penyerapan:
A
(A B) = A
|
Dualnya:
A
(A B) = A
|
6. Hukum
komutatif:
A
B = B A
|
Dualnya:
A
B = B A
|
7. Hukum
asosiatif:
A (B C) = (A B) C
|
Dualnya:
A (B C) = (A B) C
|
8. Hukum distributif:
A (B C)=(A B) (A C)
|
Dualnya:
A (B C) = (A B) (A C)
|
9. Hukum De Morgan:
= |
Dualnya:
= |
10. Hukum 0/1
= U |
Dualnya:
= Æ |
Contoh 3.24 Dual dari (A B) (A ) = A adalah
) = A adalah
(A B) (A ) = A.
) = A.
3.5 Partisi
- Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1, A2, … dari A sedemikian sehingga:
(a)
A1 È A2 È … = A, dan
(b)
Ai Ç Aj = Æ untuk i ¹ j
Contoh 3.25 Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka {
{1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A.
3.6 Himpunan Ganda
- Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset).
Contohnya, {1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.
- Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4.
- Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.
- Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multiset semua berbeda.
3.7 Operasi Antara Dua Buah Multiset
Misalkan P dan Q adalah multiset:
1.
P Q adalah suatu multiset
yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut
pada himpunan P dan Q.
Contoh: P = { a, a, a,
c, d, d } dan Q ={ a,
a, b, c, c },
P Q = {
a, a, a, b,
c, c, d, d }
2.
P Q
adalah suatu multiset yang
multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas minimum elemen tersebut pada
himpunan P dan Q.
Contoh: P = { a, a, a,
c, d, d } dan Q = { a, a, b, c,
c }
P Q = {
a, a, c }
3. P – Q adalah suatu multiset
yang multiplisitas elemennya sama dengan:
multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q, jika selisihnya positif
0,
jika selisihnya nol atau negatif.
Contoh: P = { a, a, a,
b, b, c, d, d,
e } dan Q = { a, a, b, b,
b, c,
c, d, d,
f } maka P – Q = { a,
e }
4.
P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum) dua buah himpunan ganda, adalah
suatu multiset yang multiplisitas
elemennya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas elemen tersebut pada P dan Q.
Contoh: P = { a, a, b,
c, c } dan Q = { a, b,
b, d },
P + Q = { a, a,
a, b, b, b, c,
c, d }
3.8
Pembuktian Pernyataan Perihal Himpunan
·
Pernyataan himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi
himpunan.
·
Pernyataan dapat berupa:
1.
Kesamaan (identity)
Contoh:
Buktikan “A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)”
2.
Implikasi
Contoh: Buktikan bahwa “Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka selalu berlaku
bahwa A Í C”.
1.
Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn
Contoh 3.26 Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan A Ç (B È C)
= (A Ç B) È (A Ç C)
dengan diagram Venn.
 |
 |
Bukti:
A Ç (B È C) (A Ç B) È (A Ç C)
Gambar 3.8
Kedua diagram Venn memberikan area arsiran yang sama.
Terbukti bahwa
A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).
·
Diagram Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang
digambarkan tidak banyak jumlahnya.
·
Metode ini mengilustrasikan
ketimbang membuktikan fakta. Diagram Venn
tidak dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara
formal.
2. Pembuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan
Contoh 3.27 Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Buktikan bahwa A Ç (B È C) = (A Ç B)
È (A
Ç C).
Bukti:
Tabel 3.1
A
|
B
|
C
|
B È C
|
A Ç (B È C)
|
A Ç B
|
A Ç C
|
(A Ç B) È (A Ç C)
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Karena kolom A Ç (B È C) dan kolom (A Ç B) È (A Ç C)
sama, maka A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).
3. Pembuktian dengan menggunakan
aljabar himpunan.
Contoh 3.28 Misalkan A dan B himpunan. Buktikan bahwa (A Ç B) È (A Ç ) = A
) = A
Bukti:
(A Ç B) È (A Ç )
= A Ç (B È ) (Hukum
distributif)
)
= A Ç (B È ) (Hukum
distributif)
= A
Ç U (Hukum komplemen)
= A (Hukum identitas)
Contoh
3.29 Misalkan A dan B himpunan.
Buktikan bahwa A È (B – A) = A È B
Bukti:
A È (B – A) = A
È (B Ç ) (Definisi
operasi selisih)
) (Definisi
operasi selisih)
= (A È B) Ç (A È ) (Hukum
distributif)
) (Hukum
distributif)
= (A È B) Ç U (Hukum komplemen)
= A
È B (Hukum identitas)
Contoh 3.30 Buktikan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, bahwa
(i)
A È (Ç B) = A
È B
dan
Ç B) = A
È B
dan
(ii) A Ç (È B) = A
Ç B
È B) = A
Ç B
Bukti:
(i) A
È ( Ç B) = ( A È ) Ç (A Ç B) (H. distributif)
Ç B) = ( A È ) Ç (A Ç B) (H. distributif)
= U
Ç (A Ç B) (H.
komplemen)
= A È B (H.
identitas)
(ii) adalah dual dari (i)
A Ç ( È B) = (A Ç ) È (A Ç B) (H. distributif)
È B) = (A Ç ) È (A Ç B) (H. distributif)
= Æ È (A Ç B) (H. komplemen)
= A Ç B (H.
identitas)
4. Pembuktian dengan menggunakan definisi
·
Metode ini digunakan untuk
membuktikan pernyataan himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi
pernyataan yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut
terdapat notasi himpunan bagian (Í atau Ì).
Contoh 3.31 Misalkan A
dan B himpunan. Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka A Í C. Buktikan!
Bukti:
(i)
Dari definisi himpunan bagian, P Í Q jika dan hanya jika setiap x
Î P
juga Î Q. Misalkan x Î A.
Karena A Í (B È C), maka dari definisi
himpunan bagian, x juga Î (B
È C).
Dari
definisi operasi gabungan (È), x Î (B È C) berarti x Î B atau x Î C.
(ii) Karena x Î A dan A Ç B = Æ, maka x Ï B
Dari (i) dan (ii), x Î C harus
benar. Karena "x Î A juga berlaku x Î C, maka dapat disimpulkan A Í C .
Tidak ada komentar:
Posting Komentar